WWW.ARBNOR-GASHI.PAGE.TL
  BASHKËSITË
 

Bashkësitë

Bashkësia është koncepti themelor i matematikës bashkohore. Bashkësia përbëhet nga objektet të cilat kanë së paku një veti të përbashkët. Objektet e bashkësisë i quajmë elemente të bashkësisë. Emërtimi dhe shënimi i bashkësive zakonisht bëhet me shkronja të mëdha të alfabetit latin. Caktimi i bashkësive bëhet në dy mënyra :

  • Duke i numëruar elementet e bashkësisë nëse numri i elementeve është i vogël si p.sh.: A = (a1,a2,a3,...,an)
  • Duke i përshkruar vetit e përbashkëta të elementeve si p.sh.: A = {x | F(x)}

Bashkësitë numerike

Bashkësia e numrave natyral: mathbb{N} = {, 1, 2, 3, ldots , n, n+1, ldots ,}

Bashkësia e numrave të plotë: mathbb{Z} = {, ldots , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ldots , n, n+1, ldots ,}

Bashkësia e numrave racional: mathbb{Q} = left{frac{m}{n} |   m in mathbb{Z}, n in mathbb{Z}, n ne 0 right}

Bashkësia e numrave real: mathbb{R} = { x|- infty  <x<+ infty ,}

Bashkësia e numrave kompleks: mathbb{C} = { x+iy|x inmathbb{R} ,y inmathbb{R} ,i= sqrt{-1} ,}

Bashkësia e numrave çift: mathbb{N_+} = { 2n|ninmathbb{N} land n vdots 2 ,} ={2,4,6,8,...}

Bashkësia e numrave tek: mathbb{N_-} = { n|x inmathbb{N} land n notvdots 2 ,}={1,3,5,7,9,...}

 Veprimet me bashkësi

  • Prerja e bashkësive

Prerja e bashkësive A dhe B quhet bashkësia e cila i përmban elementet e A dhe B

figura.

  • Unioni (apo bashkimi) i bashkësive

Unioni i bashkësive A dhe B quhet bashkësia e cila ka të gjitha elementet e bashkësive A dhe B

figura. Për unionin e bashkësive vlejnë këto ligje :

  1. Ligji i indempotencës

Acup A=A

  1. Ligji i kumutativ

Acup B=Bcup A

  1. Ligji asociativ

AU(BUC) = (AUB)UC

  1. Ligji distribtiv
  1. Ligji distribtiv
  • Diferenca e bashkësive

Diferenca e bashkësive A dhe B quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet e bashkësisë A që nuk i takojnë bashkësisë B

figura.

  • Diferenca simetrike e bashkësive

Diferenca simetrike e bashkësive A dhe B quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet jo të përbashkëta të bashkësive A dhe B

figura.

 Relacionet

Nëse me A shënojmë bashkësinë jo të zbrazët dhe me ρ relacionin (raportin, marëdhëniet ) mes elemteve të A-së, atëherë për ρ themi se është relacion binar. Relacion binar quhet çdo nënbashkësi e katrorit kartezian : AxB
Vetit e relacionit binar janë:
Refleksiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët A vlenë relacioni ρ i cili ka vetitë aρb dhe bρa atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin binarë.

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion jorefleksiv.
Simetria Nëse në bashkësinë jo të zbrazët A nga relacioni binar ρ rrjedhë bρa atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binarë simetrikë

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion asimetrikë.
Transitiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët A nga relacionet binare aρb dhe bρa rrjedhë aρc atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar transitiv

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion intransitiv.
 

Relacioni i ekuivalencës është relacioni binarë ρ i cili në bashkësinë A është refleksiv, simetrik dhe transitiv. Simboli i relacionit të ekuivalencës është " sim " .
Relacionet më të rëndësishme të ekuivalencës janë barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria. Po ashtu ekuacioni i ekuivalencës mundë të zbërthehet në klasa të ekuivalencës.

Relacioni i renditjes është relacioni binarë ρ i cili në bashkësinë A është refleksiv, antisimetrik dhe transitiv.
Nëse relacioni i binarë ρ në bashkësinë A është irefleksivë, asimetrik dhe transitiv, atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin rigoroz ( të renditjes).

Relacion ndërmjet dy bashkësive është prodhimi kartezian AxB i bashkësive jo të zbrazëta A dhe B. Prodhimi kartezian është ç´do nënëbashkësi për të cilën vlen :  rho = left { (a,b)| a in A land b in B land a rho b right }

 Pasqyrimet

Pasqyrim (funksion, rifigurim ) i bashkësisë AB quhet relacioni ρ ndërmjet dy bashkësive A dhe B, i cili ka këtë veti :

 ( forall x in A)( exists !y in B)(x,y) in rho

Elementet e bashkësisë A që pasqyrohen në bashkësinë B janë origjinal (zanafilla, fytyra) e pasqyrimi, ndërsa elementet përkatëse të bashkësisë B që i shoqërohen origjinaleve quhen transformati (figura, përfytyrimi) i pasqyrimit. Pasqyrimet zakonisht nuk shënohen me ρ por me f,g,h etj. Shënimi i pasqyrimeve bëhet në disa mënyra varësisht nga lëmit në të cilën përdoret. Disa shembuj të shënimit të pasqyrimeve po i prezantojmë më poshtë.

  • Shënimi simbolik i pasqyrimit

 f: A to B ose f: x to y =f(x) , forall x in A

  • Shënimi i pasqyrimeve te bashkësitë e fundme (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
  • Shënimi i pasqyrimeve në formë tabelore (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
  • Shënimi i pasqyrimit si formulë matematikore

 f(x)=2x , xin mathbb{N}


 

  • Funksioni invers

Nëse për pasqyrimin  f: A to B vlen që ç´do y element i B dhe ekziston një elementë x i tillë që :
 

( forall y in B)( exists !x in A), g:y to x=g(y)

atëherë themi se kemi të bëjmë me pasqyrimin invers g të pasqyrimit f.
Pasqyrimi invers ekziston vetëm për pasqyrimet bijektive.
Shënimi i pasqyrimit invers f zakonisht shënohet si :f - Për pasqyrimin f themi se është kodomen i domenit f - dhe në të njëjtën kohë domeni f është kodomen i f - .
Figura:

  • Shumëzimi i funksioneve

Me shumëzimin e pasqyrimeve nënkuptojmë, shumëzimin e dy e më tepër pasqyrimeve (funksioneve), ku elementit x të bashkësisë A i përgjigjet (ekziston së paku një) element y i bashkësisë B, i tillë që në bashkësinë C ekziston së paku një element z i cili i përgjigjet y.Në gjuhen matematikore kjo duket si :

 ( forall x in A)( exists !z in C)(g circ f): x to z=g{f(x)}.

 Veprimet binare

Veprim binarë në matematik quhet pasqyrimi f në bashkësinë jo të zbrazët, i tillë që:

 f: A^2 to A

 Ligjet e veprimeve binare

  1. ligji komutativ është nëse vlen: ( forall a , b in A) a circ b= b circ a.
  2. ligji asociativ është nëse vlen: ( forall a , b , c in A)( a circ b) circ c=a circ (b circ c).
  3. ligji distributiv është nëse vlen:  ( forall a , b , c in A) a circ (b * c)=(a circ b)* (a circ c).
  • Nëse në bashkësinë jo të zbrazët A është i përkufizuar veprimi binar  circ atëherë për (A, circ) themi se është grupoid.
  • Po që se veprimi binarë  circ grupoidit (A, circ) është asociativ, atëherë për të themi se është semigrup
  • Nëse në bashkësinë jo të zbrazët A ekziston një element e me vetin:

( forall a in A)a circ e=e circ a=a ,atëherë për e themi se është element neutral.

 Grupet dhe nëngrupet

Teoria e grupeve, e lindur ne shekullin 19 si disipline matematike, është nje paraprires i matematikes moderne, sepse ndane perfaqesuesin (p.sh. numrat reale) nga struktura e brendeshme (ligjet e llogaritjes ne grupe).

Punime te medha për teoriene e grupeve vijne nder te tjere nga Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie.

Unaza,Trupi dhe Fusha

  • Unaza

Unazë është bashkësia jo e zbrazët që ka të përkufizua veprimet binare të mbledhjes dhe shumëzimit, ku

  1. (A, oplus ) është grup abelian,
  2. (A, otimes ) është grupoid dhe
  3. shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes.
  • Trupi

Trup quhet unaza asociative (A, oplus , otimes ) nëse (A_1, otimes ) është grup, ku  A_1 = A| left { 0 right }.

  • Fusha

Fushë quhet trupi (A, oplus , otimes ) nëse shumëzimi është kumutativ.

 
  www.arbnor-gashi.page.tl  
 
=> Do you also want a homepage for free? Then click here! <=